Examenul de admitere la politehnica 2013 – matematica

Eu am intrat la Poli in 1999 si am dat meditatii la mate in primii 2 ani de studentie si dupa am cam intrerupt din pacate contactul cu matematica de liceu. O data pe an insa am ocazia sa particip ca supraveghetor la examenul de admitere de la poli si imi mai aduc un pic aminte.

Anul asta mi-am propus sa discut si un pic subiectele sa vedem cat imi ia sa le rezolv pe calculator. Mentionez ca la unele m-am gandit un pic in timpul examenului dar nu am avut voie nici sa le discut si nici sa pun creionul pe hartie. Acum este deci primul moment in care incerc sa le rezolv in scris.

ora 20:45 – start

1. Sa se afle m a.i. x=1 sa fie solutie a ecuatiei 3x+m-2=0.

Un subiect care are ca obiectiv sa verifice daca viitorul student stie sa citeasca.

Inlocuim x=1 in ecuatie si => 3+m-2=0 <=> m+1=0 <=> m=-1.

2. Sa se rezolve ecuatia 2x+1=16
Observam relativ rapid ca 16=24 ceea ce face sa putem scrie 2x+1=24
de aici ajungem la x+1=4 si x=3.

este 20:48 si trecem la punctul 3

3. Fie an o progresie aritmetica ai a1+a3=6 si a3-a1=4. Sa se calculeze a5
Mi-a luat mai mult sa scriu textul.
O progresie aritmetica este caracterizata de primul termen si de ratie.
a2=a1+r; a3=a2+r =>a3=a1+2r. Rescriem ecuatia 2 (ca eliminam a1 mai repede) si avem a1+2r-a1=4. =>r=2
inlocuim in prima ecuatie 2a1+2r=6. 2a1+4=6. a1=1. a2=3; a3=5; a4=7; a5=9; Putem deduce (sau folosi)si formula cf careia an=a1+(n-1)r

20:52

4. valoarea determinantului:
1 2 3
3 1 2
2 3 1

daca imi amintesc bine formula det=1*1*1+3*3*3+2*2*2-3*1*2-3*1*2-3*1*2=1+8+27-18=18

20:54

5. Sa se determine x a.i. radical(x2+5)=x+1
Ne folosim de faptul ca daca 2 numere sunt egale si patratele lor vor fi egale si ridicam la patrat

x2+5=x2+2x+1 <=> 5=2x+1 <=>x=2

Observam ca x=2 verifica pt ca radical din 9=3

6. Sa se rezolve inecuatia x2-3x+2<=0

Functia de gradul 2 arata ca o parabola. Daca ecuatia asociata are radacini reale atunci varful parabolei se afla intre radacini. Putem observa ca la + si – infinit functia tinde la +infinit deci varful este in jos si in acest caz functia este negativa intre radacini (varful este intre radacini). Asta ca sa dam o interpretare vizuala si un mod de a judeca pentru cei care nu-si mai amintesc direct regula  (cazul meu de altfel)

Radacinile se calculeaza usor ca sunt 1 si 2 (este vizibil ca suma lor este 3 si produsul este 2). deci intervalul este [1,2]

21:01

7. Sa se calculeze determinantul matricei A2
A=(1 -2) (1 -2) (am mai scris-o o data ca sa-mi fie mai usor la inmultire)
(0 1) (0 1)

A*A=(1 -4)
(0  1) – am senzatia ca trebuia sa imi amintesc matricea asta.

determinantul este 1.

8. Sa se calculeze lim (t->inf) din integrala intre 1 si t din 1/x(x2+1)
Prima problema mai dificila. Sarim momentan peste, recunosc ca nu mai tin minte mare lucru de la integrale, o sa trisez aici si o sa ma uit pe formule cand o sa revin.

20.07.
Am ajuns si la problema interesanta. Recunosc ca asta a fost singura la care m-am gandit vreo 10 minute in timpul examenului si un pic si dupa. Este singura la care voi pune si solutiile.

9. Fie S multimea solutiilor reale si strict pozitive ale ecuatiei x+1/x= integrala intre 0 si x din et (oau merge sup in sup, n-am mai incercat 🙂 )

a. S inclus in N;
b. S= mult vida
c. S inclus in (2,3)
d. S intersectat cu (2, inf) diferit de multimea vida
e. S intersectat cu (0,1) diferit de multimea vida
f. S intersectat (1,2) diferit de multimea vida

Ce-mi amintesc eu din matematica de liceu este ca integrala aceea nu este rezolvabila (cel putin nu cu ce stiam pe atunci).
Problema pare sa fie sa incercam sa estimam unde se intersecteaza cele 2 functii.
Functia din stanga scade f abrupt de la +inf cand x aproape de 0 la 2 cand x=1 si urcand spre 2.5 cand x=2

Integrala este practic aria de sub functia et cand t variaza intre 0 si x
Observatia pe care o pot face este ca functia et este marginita superior pe intervalul 0,1 de et, avand aceleasi valori in t=0 si in t=1.
Asadar pentru x=1 integrala este mai mica decat e1-e0 ceea ce este aprox egal cu 1.7

Pare asadar ca cele 2 functii nu se intersecteaza pe intervalul 0,1, una coborand de la +inf la

Sa vedem si urmatorul interval 1,2
Am stabilit valoarea aprox pt x=1; Pe intervalul 1-2 ambele functii cresc.
x+1/x are valoarea 2 cand x=1 si 2.5 cand x=2.
integrala creste de data asta mult mai rapid decat e la x dar cum doar pe aceea stim s-o integram sa vedem ce valoare are integrala in x=2.
Asadar integrala din ex intre 0 si 2 ar fi e2-e0. Mi-e lene sa fac calculele dar e2 e mai mare ca 6.25 (2.52 => integrala mai mare decat 5.25.
Pare ca functiile se intersecteaza intre x=1 si x=2 intrucat cea de-a doua trece peste prima in acest interval. Raspuns (1,2). Am senzatia desi nu sunt sigur ca aici era dat ca fiind corect raspunsul (0,1) dar nu am apucat sa vad bine si am senzatia ca demonstratia mea este corecta.

21:25 – timeout; nu pierdem ideea, revenim mai tarziu.

22:57 back. Am ajuns la exercitiul 10. Din primele 9 am facut 8 in cca 40 min + inca 10-15 min de gandire la exercitiul 9 in timpul zilei. In timpul asta am avut copiii pe langa mine si am redactat pe calculator ceea ce ia sensibil mai mult timp decat scrisul pe hartie.

10.Fie polinomul f=X3-5X2+4X. T= suma patratelor radacinilor.
Se cere T.
Radacinile sunt 0, 1 si 4. Eu aici as fi pus raspuns si 5 pentru cine nu vede patratele.
Anyway 0*0+1*1+4*4=17.

11. lg35+lg320+lg8*lg 0.25.
well well well.
lg20=lg(5*4)=lg5+lg4.
Notam lg5=t ca imi e lene sa-l scriu ff des; observam ca lg8=3lg2 si lg0.25 =-2lg2
t3+(t+2lg2)3+3lg2*(-2)lg2=
t3+t3+12tlg22+6t2lg2+8lg32-6tlg22=
2t3+6tlg22+6t2lg2+8lg32

….

m-am incurcat in sup(tag-ul pentru sup script) asa ca am pus pixul pe hartie.

pare ca observatia cheie este ca lg5=lg(10/2)=1-lg2. lg20=lg(2*10)=1+lg2

De aici totul devine simplu: E=(1-lg2)3+(1+lg2)3-6lg2=…=2

12.f(x)=arccos(1-x2/1+x2)+arcsin(2x/1+x2)
se cere:
f(-radical(3))+f(-ln2)+f(1)+f(ln3)

aici am trisat.
folosesc urmatoarele 2 relatii pe care probabil ca le stiam acum 100 de ani intr-a 12-a.
arcsin(a)-arcsin(b)=arcsin(a*radical(1-b2)-b*radical(1-a2)
si arccos(x)=pi/2-arcsin(x)
23:52 sunt impotmolit la calcule in exercitiul asta; skip

13. 2x-3<=4x 2x>=-3; x>=-3/2

14. daca x1 si x2 sunt solutiile 2x2-3x+1=0 atunci x1+x2=…
pare ca ar fi 2 variante de rezolvare. 1. relatiile lui viete
2. aflam x1 si x2.
pt relatiile lui viete aduc ecuatia sa inceapa cu x2.
x<sup2-3/2x+1/2=0. x1+x2=3/2; cred ca x1 si x2 sunt 1 si respectiv 1/2. Pare ca ambele verifica. Suma este 3/2.

15. Produsul solutiilor |x+1|=2 este.
ecuatia are solutii x=1 si x=-3 in cazurile x+1=2 si x+1=-2. Produsul lor va fi -3.

16. Sa se calculeze Comb(0,5)+Comb(2,5)+Comb(4,5). Unde Comb(4,5)am notat combinari de 4 luate cate 5.
Comb (k,n)=n!/((n-k)!*k!).
Asadar Comb(0,5)=5!/(5!*0!)=1;
Comb(2,5)=5!/(2!*3!)=3*4*5/(2*3)=10
Comb(4,5)=5!/4!=5.
Suma=16

Este 12.02.

17 Sa se calculeze modulul numarului complex z=(3+4i)/(6-8i)
z=a+bi |z|=radical(a2+b2)
Aici sunt convins ca era un truc standard pe care nu mi-l aduc aminte momentan si incerc sa vad daca pot sa-l reproduc.
fie t=3+4i. t1=3-4i (conjugata).
Practic z=1/2*t/t1.
Oare ce proprietati are raportul dintre un numar complex si conjugatul sau?
Recunosc ca nu-mi mai amintesc formulele dar daca un numar complex poate fi exprimat ca modul*(cos a+isina) atunci modul (t/t1)pare a fi modul(t)/modul(t1). In acest caz t si t1 au acelasi modul deci modulul lui z pare a fi 1/2.

Este un raspuns pentru care nu bag mana in foc dar pare al naibii de logic.

18. Fie functia f(x)=xex
Se cere f'(1).
f'(x)=xex+ex
f'(1)=e+e=2e
Este ora 12.20.

Am lucrat cam 2h si 20 si mai am 1 exercitiu si jumatate. Sunt mult prea obosit ca sa-l descurc pe cel cu arcsin, incerc sa-l rezolv pe cel cu limita pe care l-am sarit mai devreme.

8. Sa se calculeze lim (t->inf) din integrala intre 1 si t din 1/x(x2+1).

Ideea aici pare a fi sa spargem un pic 1/x(x2+1) si mie mi-a venit ideea relativ repede sa adun x2 si sa scad x2. Atunci integrala devine integrala(1/x)-1/2I(2x/1+x2)=ln(x)-1/2ln(1+x2)
Si acum calculam lim t->inf=> ln(t)-1/2 ln(1+t2)-ln1+1/2ln(1+1). Prima parte tinde la 0 cand t->inf deci lim =1/2ln(2)

Cam astea ar fi rezultatele. Ala cu arcsin-ul recunosc ca m-a chinuit vreo 20 de minute si momentan nu i-am dat de cap.
Este 12.35.
Am stat cam 2 ore si jumatate, mi-ar ramane 20 min probabil maine pentru ce a mai ramas. Nu stiu cate din solutii am nimerit corect. A trebuit sa deduc niste formule mai ales la numerele complexe si am trisat la capitolul arcsin unde nu mai stiam nimic. Am gresit destul de mult la calcule (sunt genul care lucreaza muuuult mai bine dimineata) si am pierdut extrem de mult timp cu scrisul aici. Am pierdut ceva timp si cu copiii care mi-au distras atentia in prima parte a exercitiului. Abordarea a fost mai degraba inginereasca, mai ales la exercitiul 9. Mi s-a parut un exercitiu util pentru a intelege nivelul de dificultate al examenului de admitere de la noi.

Probabil odihnit si cu formulele repetate inainte si scriind pe hartie as fi reusit sa trec prin toate subiectele cam intr-o ora jumate.

Sper sa fie util si pentru altii, rezolvarile cred ca sunt bune (daca nu, astept feedback).

6 thoughts on “Examenul de admitere la politehnica 2013 – matematica”

  1. La ala cu conjugate e 1/2, caci ai bas(z1/z2)=abs(z1)/abs(z2). si mai ai abs(z)=abs(z'(conjugatul))
    La ala cu arcsin, fara sa calculez, deci nu bag mana in foc, dar folosinduma de (1-x^2)^2+(2x)^2=(1+x^2)^2, deci daca notezi 2x/(1+x^2)=sin a, ai arccos(cos a)+ arcsin(sin a), deci cred k raspunsu e f(a)=2a

  2. Sincer, eu fara a trisa, ca de predau Metode Numerice, am rezolvat in cam 1h 30 min, cu pixul pe hartie. Mie mi-au placut tare mult subiectele de anul acesta si cred ca aceasta este normalitatea.

    1. pana la urma singura la care am trisat nu mi-a folosit ca m-am incurcat la calcule (cea cu arcsin). In rest raspunsurile sunt corecte, am verificat azi cu grila. Indraznesc sa cred ca si rationamentele sunt corecte:)

Comments are closed.